Nochmal Ziegenproblem

Kurz wiederholt: Ein Kandidat für den Gewinn eines Autos steht vor 3 geschlossenen Toren, hinter einem steht ein Auto, hinter den anderen jeweils nur eine Ziege. Ein Moderator gibt dem Kandidaten die Möglichkeit, durch Zeigen auf ein Tor das Auto zu gewinnen. Das ist ausführlicher zu formulieren.

Vielen Formulierungen werden Schlüsse über das zweckmäßige Verhalten des Kandidaten angefügt, die anscheinend nicht berücksichtigen, dass die dem Kandidaten zur Verfügung stehenden Wahrscheinlichkeiten von dessen Kenntnisstand abhängen. Beispiel für solche Abhängigkeit: Wenn ich vor einem Münzwurf beiden Möglichkeiten (Wappen oder Zahl) die gleiche Wahrscheinlichkeit gebe, haben sie diese zunächst auch noch nach dem Wurf, falls die Münze von einem Gegenstand (etwa einem Tisch) für mich verdeckt gefallen ist. Anders für jemanden, der die Münze dann im Blickfeld hat.

Dementsprechend versuche ich mal, die Aufgabe etwas von hinten aufgezäumt abstrakter zu formulieren, damit das üblicherweise angegebene Ergebnis herauskommen kann:

Der Moderator zeigt dem Kandidaten die 3 Tore, kündigt ihm an, dass er (der Kandidat) eines der Tore beliebig auswählen soll (der Zeiger eines Glücksrads täte es auch) und dass er, der Moderator, dann von den beiden anderen Toren eines öffnen würde, hinter dem sich eine Ziege befindet. Ein solches gibt es jedenfalls, der Moderator weiß, wo sich das Auto befindet, der Kandidat weiß das nicht, aber ist über die sonstigen Umstände aufgeklärt. Dann soll der Kandidat entscheiden, ob er das zunächst bezeichnete Tor oder (nach dem Moderator-Eingriff) das ungeöffnete von den beiden anderen öffnen will, um möglichst das Auto dahinter zu finden (und zu gewinnen).

Wenn der Kandidat jedem Tor als möglichem Treffer die Wahrscheinlichkeit 1/3 gibt, so ist hinter dem vorbezeichneten Tor das Auto mit der Wahrscheinlichkeit 1/3, hinter einem der beiden anderen insgesamt mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. Wenn der Kandidat könnte, würde er also sinnvollerweise die beiden anderen Tore wählen. Darauf läuft es aber hinaus, wenn der Moderator (nach dieser Wahl) eines der beiden Tore öffnet und der Kandidat nur noch das andere zu öffnen braucht.

Anders gesagt: Die Entscheidungsgründe sind so, als würde dem Kandidaten gesagt, er möge ein Tor oder zwei Tore wählen, was letzteres er sinnvollerweise tun wird. Der Moderator erleichtert ihm das weitere Vorgehen, indem er von den gewählten ein Tor mit einer Ziege öffnet. Dann kann der Kandidat hinter dem anderen nachsehen, ob er das Auto gewonnen hat.

So zwingend mir diese Argumente erscheinen, stört doch vielleicht etwas die Indirektheit: Insbesondere wächst der Kenntnisstand des Kandidaten mit dem Öffnen des Ziegentors durch den Moderator, andererseits hat das für die Richtigkeit der (schon getroffenen) Entscheidung keine Bedeutung. Ich sehe hier zwei Aspekte dieser Problematik: Zum einen wird eine Wahrscheinlichkeit durch Mangel an Wissen bestimmt. Im einfachsten Fall gibt es zu einem Ereignis eine Alternative. Wenn ich dann zu den Bedingungen des Eintretens nichts weiter weiß, werde ich den beiden möglichen Ereignissen jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/2 geben. Werde aber das (faktische) Nichtwissen nicht belegen können. Zum anderen spielt in der gegebenen Situation das Wissen oder eine Annahme über das Wissen (wenn nicht sogar die Absicht) eines Anderen eine komplizierte Rolle. –

Nach manchen Formulierungen der Aufgabe dürfte aber dem Kandidaten z.B. nach Wahl des ersten Tors die Aufforderung des Moderators, erneut zu wählen, unerwartet kommen und ohne dass er weiß, ob diese neue Aufforderung von seiner ersten „Wahl“ abhängt. Was soll er dann schließen? Das hängt vielleicht vom Wetter ab. Jedenfalls sollte der Aufgabensteller bei der Bewertung der Entscheidung des Kandidaten oder der Rätsel-Löser diesen nicht seinen eigenen unausgesprochenen Kenntnisstand unterstellen.

Wobei ich meine, dass die Aufklärung dieser Missverständnisse oder Ungereimtheiten eher philosophisch als mathematisch möglich ist. –

Hier eine umständlichere frühere Darlegung von mir.

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